Least Action Principles Appropriate to Pressure Driven Models of Pipe Networks
Principes de moindres action appropriés pour la modélisation des systèmes de distribution d'eau avec consommation fonction de la pression
Résumé
Nowadays, the operation of a drinking water supply network can be assessed by using hydraulic computer models, such as "Porteau", developed by Cemagref. These models are accurate for high volume flows (such as emptying or filling of tanks) but less so for minimum flows. Partially closed valves, small diameter pipes and overestimation of consumption lead to difficult numerical problems. In these cases, optimization is required to prevent non-convergence of solutions. Besides, for such a model, consumption is an input and has to be estimated without considering the available pressure. Thus, demand overestimation is emphasized at the time of a network dysfunction, such as pipe breaks, pump failures and missing water resources. For about ten years, authors have proposed demand depending on available head. Such a model is known as a "Pressure Driven Model" (PDM), but theory and solving tools have not been fully developed yet.Firstly, two problems of optimization are associated to (PDM): one is written in terms of head loss and head, and the other in terms of flow rates. As with the classical models, they correspond to principles of least action. Next, equivalence of formulations and solution existence and uniqueness are demonstrated. Then, three descent algorithms of Newton type are proposed. Finally, the efficiency of these algorithms is proved in solving former problematic study cases.
De nos jours, le fonctionnement d'un réseau d'alimentation en eau potable peut être apprécié en utilisant un logiciel de calcul hydraulique, tel que " Porteau " développé par le Cemagref. Les résultats sont précis pour la prédiction des échanges de débits importants (tels que le remplissage ou la vidange d'un réservoir) ; ils le sont moins pour les petits débits. Des vannes partiellement fermées, des conduites de petits diamètres et la sur-estimation de la consommation conduisent à des problème numériques raides. Résoudre un problème d'optimisation par une méthode de descente empêche les situations de non-convergence. D'un autre côté, la consommation est fixée au préalable et doit être estimée sans tenir compte de la pression disponible. Ainsi, le problème de la sur-estimation de la demande est accentué lors d'un dysfonctionnement du réseau, tel qu'une casse de conduite, un non-fonctionnement de pompe ou un déficit de la ressource en eau. Depuis à peu près dix ans, les auteurs ont proposé des modèles avec consommation dépendant de la pression (PDM). Cependant, la théorie et les moyens de résolution n'ont pas été complètement développés jusqu'ici.Tout d'abord, deux problèmes d'optimisation sont associés aux PDM modèles : l'un est formulé dans l'espace des charges et des pertes de charges, et l'autre dans l'espace des débits. Comme pour les modèles classiques (avec demande ne dépendant pas la pression), ils correspondent à des principes de moindres actions. Ensuite, l'équivalence des formulations ainsi que l'existence te l'unicité sont démontrés. Alors, trois algorithmes de descente de type Newton sont proposés. Finalement, l'efficacité de ces algorithmes est prouvée en résolvant pour des cas d'école posant au préalable problème.