An extension of the Yule process for the stochastic modelling of recurrent events: application to the failures of pressure water mains
Une extension du processus de Yule pour la modélisation stochastique des événements récurrents : application aux défaillances de canalisations d'eau sous pression
Résumé
After the Yule Process in its classical form has been presented, an extension is proposed that aims at stochastically modelling recurrent events. In the frame of this extended process, the analytical form of the conditional distribution of the possible number of events that may occur in a given time interval given the number of events that already occurred before the beginning of the interval is proven by induction; knowing this distribution is important when seeking to model an actual process only observed within a bounded time interval that not necessarily starts at t=0. The particular case of a process intensity that linearly depends on the rank of the event is shown to generate a counting process whose distribution is negative binomial. In this linear case leading to the Linear Extended Yule Process (LEYP), the likelihood function of the model parameters given a sequence of observed events is built, and allows to estimate these parameters. The number of events that may occur in a time interval given the number of events observed in a previous time interval is then proven to also have a negative binomial distribution; this result is essential to validate the model and perform predictions. The likelihood function is nevertheless valid provided the system under study can always be observed. In the case of a system whose life time is randomly limited according to the number of past events, it is shown how the data may be biased by the selective survival phenomenon, and how to account for the system survival when building the likelihood function. After these theoretical investigations, the practical estimation of the model parameters is studied with random computer simulations. It is shown to that end how to generate a random sample of events distributed according to a LEYP, how to estimate the parameters by maximizing their likelihood function, and finally how to perform predictions of the number of events, and how to cross-validate these predictions by building a predictive performance curve. The LEYP model is lastly used to analyse real failure datasets, that demonstrate its practical efficiency.
Après une présentation du processus de Yule dans sa forme classique, une extension en est proposée à but de modélisation stochastique des événements récurrents. Dans le cadre de ce processus étendu, une formule analytique est démontrée par récurrence pour la distribution conditionnelle du nombre d'événements susceptibles de se produire dans un intervalle de temps donné, sachant le nombre d'événements subis avant le début de l'intervalle ; la connaissance de cette distribution est importante pour modéliser un processus réel observé uniquement sur un intervalle de temps, qui est borné et ne débute pas nécessairement à t=$. Il est montré que le cas particulier d'une dépendance linéaire entre l'intensité du processus et le rang de l'événement conduit à la distribution binomiale négative du processus de comptage. Dans ce cas linéaire, conduisant au Linear Extended Yule Process (LEYP), la fonction de vraisemblance des paramètres du modèle connaissant une séquence d'événements observés est construite, qui permet d'estimer ces paramètres. Est ensuite établie la forme particulière (binomiale négative) que prend la probabilité conditionnelle du nombre d'événements susceptibles de se produire dans un intervalle de temps donné, connaissant le nombre d'événements qui se sont produits dans un intervalle de temps antérieur ; ce résultat est indispensable pour valider le modèle, et effectuer des prévisions. La fonction de vraisemblance n'est cependant valide qu'à la condition que le système étudié soit toujours observable. Dans le cas d'un système à durée de vie limitée aléatoirement par le nombre d'événements subis, il est montré comment les données d'observation peuvent être biaisées par le phénomène de la survie sélective, et comment prendre en compte la survie du système dans la construction de la fonction de vraisemblance. Faisant suite à ces investigations théoriques, l'estimation pratique des paramètres est étudiée par des simulations sur ordinateur. Il est montré à cet effet comment générer une séquence aléatoire d'événement distribués selon un LEYP, comment estimer les paramètres en maximisant leur fonction de vraisemblance, et enfin comment effectuer des prévisions de nombres d'événements, et effectuer la validation de ces prévisions en établissant une courbe de performance prédictive du modèle. Le modèle LEYP est enfin mis en oeuvre sur des exemples réels de données de défaillance, et son efficacité pratique est mise en évidence.
Domaines
Sciences de l'environnement
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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