Optimal control contributions and the crisis time problem : and irrigation applications
Contributions en commande optimale et au problème du temps de crise : applications en irrigation
Résumé
This thesis is in the field of optimal control and is divided into two parts. The first part investigates an optimal control problem derived from modeling, which consists of maximizing the biomass production at harvesting time under a constraint on the water required for irrigation in a context of limited resources.The problem is presented as a state-constrained optimal control problem with a target, subject to a non-autonomous dynamical system where its right member is non-smooth. First, we address the state constraint by comparing the trajectories above the highest biomass production threshold. Next, we apply the generalized principle maximum and show that an optimal solution can have one or several singular arcs only on the non-smooth points of the dynamics. Finally, we propose three different strategies of irrigation and make a numerical comparison between the 3.The second part deals with the study of the minimal time of crisis problem that minimizes the time spent by a trajectory solution of a controlled system outside a given set K. The main characteristic of this kind of problem is the discontinuity of the integrand with respect to the state at the border of the set K. We first propose a new regularization method of the minimal time crisis problem using additional control and a penalty function. We show the convergence of the sequence of optimal solutions of the new problem to an optimal solution of the original problem.We then propose a more general regularization scheme where we apply the Pontryagin Maximum Principle to the smooth optimal control problems, and we study the boundedness and the convergence of the resulting extremals. Under a more general hypothesis than the usual one faced in the literature, which claims that any optimal solution hits the boundary of the constraint set in a transverse way, we derive the necessary optimal condition of the minimal time of crisis.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine du contrôle optimal et se divise en deux parties.La première partie vise l'étude d'un problème de contrôle optimal issu de la modélisation, qui consiste à maximiser la production de biomasse au moment de la récolte sous une contrainte sur l'eau nécessaire à l'irrigation dans un contexte de ressources limitées.Le problème est présenté comme un problème de contrôle optimal sous contrainte d'état avec une cible, soumis à un système dynamique non-autonome dont le deuxième membre est non-lisse. Tout d'abord, nous examinons la contrainte d'état en comparant les trajectoires au-dessus du seuil à partir duquel la production de biomasse est maximale. Ensuite, nous appliquons le Principe du Maximum généralisé et nous montrons qu'une solution optimale peut avoir un ou plusieurs arcs singuliers uniquement sur les points non-lisses de la dynamique. Enfin, nous proposons trois stratégies différentes d'irrigation et nous faisons une comparaison numérique entre les 3.La seconde partie porte sur l'étude du problème de temps de crise, qui consiste à minimiser le temps passé par une trajectoire solution d'un système contrôlé en dehors d'un ensemble donné K. La caractéristique principale de ce type de problème est ladiscontinuité de l'intégrande par rapport à l'état au bord de l'ensemble K. Nous proposons d'abord une nouvelle méthode de régularisation du problème en utilisant un contrôle auxiliaire et une fonction de pénalité. Nous montrons la convergence de la suite de solutions optimales du nouveau problème régularisé vers une solution optimale du problème original.Nous proposons ensuite une méthode de régularisation plus générale où nous appliquons le Principe du Maximum de Pontryagin aux problèmes de contrôle optimal régularisé, et nous étudions la bornitude ainsi que la convergence des extrémales. Sous une hypothèse plus générale que celle habituellement employée dans la littérature, qui oblige toute solution optimale à traverser l'ensemble des contraintes de manière transversale, nous dérivons les conditions nécessaire d'optimalité du problème du temps minimal de crise.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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