Distribution of the maximum of a random field and statistical applications
Distribution du maximum d'un champ aléatoire et applications statistiques
Résumé
Numerous examples of applications from very diverse fields (Medicine, Astrophysics, Statistics, etc...) particularly motivate the study of the distribution of the maximum of a random process. After recalling the main existing results on the distribution of the maximum of very general random processes and given their obvious lack of precision when it comes to using them in practice; we consider methods allowing to obtain very precise results but with stronger conditions on the random process. These methods are called Rice methods. The conditions they impose on the process are very often satisfied in practical examples. When they are not, one generally prefers to modify the scientific approach a little in order to benefit from more precise results. After reviewing the existing results in this field, we propose a method that generalises Rice methods for Gaussian processes in dimension one to the case of Gaussian random fields on compact subsets of R^N, N>1. Our method is based on the one hand on the use of the number of local maxima above a level of the Gaussian random field and on the other hand on a modification of this random variable on the different edges of the compact subset. Our method allows us to obtain the main existing results in this field (often obtained by very different methods), to improve some of them and to obtain new ones. In the second part of this thesis (Chapters 4 and 5) we mainly focus on a more applied aspect of Rice methods. In a first step we make an Splus implementation of the main Rice methods studied and established. For this, by generalizing to the non-stationary case and to the case of the absolute value of a Gaussian process the results given in Azaïs, Cierco and Croquette (1999), we establish formulas relatively well adapted to numerical calculation for the evaluation of the first and second order factorial moments appearing in the study of P[ max_t X(t) > u] and P[ max_t |X(t)| > u] with u fixed and X a real Gaussian process satisfying certain regularity conditions. In a second step, we adapt the previous formulas to the particular Gaussian processes involved in the asymptotic study of the likelihood ratio tests of one Gaussian population against two (Gosh and Sen (1985), Dacunha-Castelle and Gassiat (1997, 1999)). We then obtain tables and power results for these problems. This allows us to compare these tests with classical moment tests. Remarks and conclusions are then drawn about the optimality of these tests. In conclusion, we give several particularly interesting insights from this work.
De nombreux exemples d'applications issus de domaines très divers (Médecine, Astrophysique, Statistique, etc...) motivent particulièrement l'étude de la distribution du maximum d'un processus aléatoire. Après avoir rappelé les principaux résultats existants sur la distribution du maximum de processus aléatoires très généraux et face à leur manque évident de précision lorsqu'il s'agit de les utiliser en pratique, nous nous sommes plus particulièrement intéressés à des méthodes permettant d'obtenir des résultats très précis au prix de conditions plus fortes sur le processus. Ces méthodes sont des méthodes de Rice. Les conditions qu'elles imposent sur le processus sont très souvent satisfaites dans les exemples pratiques. Lorsqu'elles ne le sont pas, on préfère en général modifier un peu la démarche scientifique pour s'y ramener et bénéficier de résultats précis.
Après avoir fait un tour d'horizon des résultats existants dans ce domaine, nous proposons une méthode permettant de généraliser les méthodes de Rice pour des processus gaussiens en dimension un au cas de champs aléatoires gaussiens sur des sous-ensembles compacts de R^N, N>1. Notre méthode est basée d'une part sur l'utilisation du nombre de maxima locaux au-dessus d'un niveau du champ aléatoire gaussien et d'autre part sur une modification de cette variable aléatoire sur les différents bords du sous-ensemble compact. Notre méthode nous permet de redémontrer les principaux résultats existants dans ce domaine (souvent obtenus par des méthodes très diverses), d'en améliorer certains et d'en établir de nouveaux. Dans la deuxième partie de cette thèse (chapitres 4 et 5) nous nous sommes principalement intéressés à un aspect plus appliqué des méthodes de Rice. Dans un premier temps nous avons fait une implémentation Splus des principales méthodes de Rice étudiées et établies. Pour cela, en généralisant au cas non stationnaire et au cas de la valeur absolue d'un processus gaussien les résultats donnés dans Azaïs, Cierco et Croquette (1999), nous avons notamment établi des formules relativement bien adaptées au calcul numérique pour l'évaluation des moments factoriels d'ordre un et d'ordre deux apparaissant lors de l'étude de P[ max_t X(t) > u] et P[ max_t |X(t)| > u] avec u fixé et X un processus gaussien réel vérifiant certaines conditions de régularité. Dans un deuxième temps, nous avons adapté les formules précédentes aux processus gaussiens particuliers intervenant lors de l'étude asymptotique des tests du rapport des maxima de vraisemblance d'une population gaussienne contre deux (Gosh et Sen (1985), Dacunha-Castelle et Gassiat (1997, 1999)). Nous obtenons alors pour ces problèmes des tables et des résultats de puissances. Cela nous permet de comparer ces tests à des tests de moments classiques. Des remarques et des conclusions sont alors tirées quant à l'optimalité de ces tests.
En conclusion nous donnons plusieurs perspectives particulièrement intéressantes dégagées par ce travail.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)